ความแปรปรวน ของ a เฉลี่ยเคลื่อนที่ กระบวนการ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนและสิ่งที่ดีเกี่ยวกับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือว่ามันเป็นประโยชน์ตอนนี้เราสามารถแสดงความสูงที่อยู่ภายในหนึ่งเบี่ยงเบนมาตรฐาน 147mm ของ Mean. So โดยใช้การเบี่ยงเบนมาตรฐานเรามีวิธีการมาตรฐานในการรู้ว่าอะไรเป็นเรื่องปกติ และสิ่งที่เป็นพิเศษขนาดใหญ่หรือพิเศษ small. Rottweilers เป็นสุนัขสูงและ Dachshunds เป็นบิตสั้น ๆ แต่ don t บอกพวกเขา แต่มีการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ กับตัวอย่างข้อมูลตัวอย่างของเราได้รับสำหรับประชากร 5 สุนัขเป็นสุนัขเท่านั้น เราสนใจ แต่ถ้าข้อมูลเป็นตัวอย่างการเลือกที่นำมาจากประชากรที่ใหญ่กว่านั้นการคำนวณการเปลี่ยนแปลงเมื่อคุณมีค่าข้อมูล N ที่แบ่งประชากรโดย N เมื่อคำนวณความแตกต่างเช่นที่เราทำตัวอย่างหารด้วย N-1 เมื่อคำนวณ Variance การคำนวณอื่น ๆ ทั้งหมดยังคงเหมือนเดิมรวมถึงวิธีที่เราคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างเช่นถ้าสุนัข 5 ตัวของเราเป็นเพียงตัวอย่างของประชากรที่ใหญ่กว่าของสุนัขเราจะหารด้วย 4 แทน 5 เช่นนี้ความแปรปรวนของกลุ่ม 108,520 4 27,130.Sample Standar d ความคลาดเคลื่อน 27,130 164 ถึงมิลลิเมตรใกล้เคียงที่สุดคิดว่าเป็นการแก้ไขเมื่อข้อมูลของคุณเป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้นมีสูตรสองสูตรนี้อธิบายได้ที่สูตรเบี่ยงเบนมาตรฐานหากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม series ที่รู้จักกันในชื่อ ARIMA models อาจรวมถึงเงื่อนไข autoregressive และหรือ moving average terms ในสัปดาห์ที่ 1 เราได้เรียนรู้ความเป็น autoregressive ในรูปแบบของ series เวลาสำหรับตัวแปร xt คือค่า lag ของ xt ตัวอย่างเช่นความล้าหลัง 1 autoregressive term x t -1 คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์บทเรียนนี้กำหนดค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่โดยค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ในรูปแบบของชุดข้อมูลเป็นข้อผิดพลาดที่ผ่านมาคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์การให้น้ำหนัก N 0, sigma 2w ซึ่งหมายความว่าน้ำหนักจะเหมือนกัน, แต่ละคนมีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และค่าความแปรปรวนเดียวกันค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของแบบจำลอง 1 หมายถึง MA 1 คือ xt mu wt theta1w. แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่อันดับที่ 2 แสดงโดย MA 2 คือ xt mu wt theta1w theta2w. แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของ q th ซึ่งแสดงโดย MA q คือ xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw. Note ตำราและโปรแกรมซอฟต์แวร์จำนวนมากกำหนดรูปแบบที่มีสัญญาณเชิงลบก่อนเงื่อนไขไม่ได้เปลี่ยนคุณสมบัติทางทฤษฎีโดยทั่วไปของแบบจำลองแม้ว่าจะไม่สามารถพลิกสัญญาณพีชคณิตของค่าสัมประสิทธิ์ที่คำนวณได้และเงื่อนไขที่ไม่เป็นที่ยอมรับใน สูตรสำหรับ ACFs และความแปรปรวนคุณต้องตรวจสอบซอฟต์แวร์ของคุณเพื่อตรวจสอบว่ามีการใช้เครื่องหมายเชิงลบหรือบวกเพื่อเขียนตัวเลขที่ถูกต้องโดยประมาณ R ใช้เครื่องหมายบวกในโมเดลต้นแบบดังที่ได้กล่าวมาแล้วหรือไม่ทฤษฎีคุณสมบัติของไทม์ซีรี่ส์ด้วย แมสซาชูเซตส์ 1 Model. Note ว่าค่าที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวในทฤษฎี ACF เป็นสำหรับความล่าช้า 1 All autocorrelations อื่น ๆ เป็น 0 ดังนั้นตัวอย่าง ACF กับ autocorrelation อย่างมีนัยสำคัญเฉพาะที่ล่าช้า 1 เป็นตัวบ่งชี้ของรูปแบบที่เป็นไปได้ MA 1 สำหรับนักเรียนที่สนใจ, การพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้เป็นภาคผนวกของเอกสารฉบับนี้ตัวอย่าง 1 สมมุติว่าแบบจำลอง MA 1 คือ xt 10 wt 7 w t-1 ที่น้ำหนักเกินกว่า N 0 ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ 1 0 7 Th ทฤษฎี ACF ได้รับโดยพล็อตของ ACF นี้ต่อไปนี้พล็อตแสดงให้เห็นเพียง ACF ทฤษฎีสำหรับ MA 1 กับ 1 0 7 ในทางปฏิบัติตัวอย่างที่ชนะ t มักจะให้รูปแบบที่ชัดเจนดังกล่าวใช้ R เราจำลอง n 100 ค่าตัวอย่างใช้แบบ xt 10 wt 7 w t-1 โดยที่ w t. iid N 0,1 สำหรับการจำลองแบบนี้ข้อมูลพล็อตของตัวอย่างข้อมูลตามเวลาเราสามารถบอกได้มากจากพล็อตนี้ตัวอย่าง ACF สำหรับการจำลอง ข้อมูลดังต่อไปนี้เราจะเห็นการเพิ่มขึ้นของความล่าช้า 1 ตามด้วยค่าที่ไม่สำคัญสำหรับความล่าช้าที่ผ่านมา 1 โปรดทราบว่า ACF ตัวอย่างไม่ตรงกับรูปแบบทางทฤษฎีของ MA 1 ต้นแบบซึ่งเป็นค่าความสัมพันธ์กับความล่าช้าทั้งหมดที่ผ่านมา 1 จะเป็น 0 A ตัวอย่างที่แตกต่างกันจะมีตัวอย่างที่แตกต่างกันเล็กน้อย ACF แสดงด้านล่าง แต่อาจจะมีคุณสมบัติกว้างเดียวกันคุณสมบัติทางทฤษฎีของซีรีส์เวลากับ MA 2 Model. For รุ่น MA 2 คุณสมบัติทางทฤษฎีมีดังต่อไปนี้หมายเหตุว่ามีเพียงศูนย์เท่านั้น ค่าในทฤษฎี ACF มีความล่าช้า 1 และ 2 Autocorrelat ไอโอนิกสำหรับความล่าช้าที่สูงขึ้นเป็น 0 ดังนั้น ACF ตัวอย่างที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมีนัยสำคัญที่ lags 1 และ 2 แต่ autocorrelations ที่ไม่สำคัญสำหรับการล่าช้าที่สูงขึ้นแสดงให้เห็นถึงรูปแบบ MA 2 ที่เป็นไปได้ N = 0,1 ค่าสัมประสิทธิ์คือ 1 0 5 และ 2 0 3 เนื่องจากนี่คือ MA 2 ทฤษฎี ACF จะมีค่าที่ไม่ใช่ศูนย์เฉพาะที่ล่าช้า 1 และ 2. ค่าของสอง autocorrelations ไม่ใช่ศูนย์เป็นพล็อตของทฤษฎี ACF ดังต่อไปนี้เป็นเกือบตลอดเวลาเป็นกรณีตัวอย่างข้อมูลที่ได้รับรางวัล t ทำตัวค่อนข้าง ดังนั้นอย่างสมบูรณ์แบบเป็นทฤษฎีเราจำลอง n 150 ตัวอย่างค่าสำหรับรุ่น xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 โดยที่ w t. iid N 0.1 ชุดข้อมูลอนุกรมเวลาตามด้วยเช่นเดียวกับพล็อตอนุกรมเวลาสำหรับ MA 1 ข้อมูลตัวอย่างคุณสามารถบอกได้มากจากนั้น ACF ตัวอย่างสำหรับข้อมูลจำลองดังนี้รูปแบบเป็นเรื่องปกติสำหรับสถานการณ์ที่รุ่น MA 2 อาจเป็นประโยชน์มีสอง spikes นัยสำคัญทางสถิติที่ lags 1 และ 2 ตามด้วยไม่ใช่ ค่าที่สำคัญสำหรับความล่าช้าอื่น ๆ โปรดทราบว่าเนื่องจากข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างตัวอย่าง ACF ไม่ตรงกัน รูปแบบทางทฤษฎีว่า ACF สำหรับ MA ทั่วไป q Models. A สมบัติของ MA q models โดยทั่วไปคือมี autocorrelations ที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับ q lags แรกและ autocorrelations 0 สำหรับ lags ทั้งหมด q. Non - เอกลักษณ์ของการเชื่อมต่อระหว่างค่าของ 1 และ rho1 ในรูปแบบ MA 1 ในรูปแบบ MA 1 สำหรับค่าหนึ่งของ 1 ซึ่งกันและกัน 1 1 ให้ค่าเดียวกันตัวอย่างเช่นใช้ 0 5 สำหรับ 1 และใช้ 1 0 5 2 สำหรับ 1 คุณจะได้รับ rho1 0 4 ในทั้งสองกรณีเพื่อตอบสนองข้อ จำกัด ทางทฤษฎีที่เรียกว่า invertibility เรา จำกัด รุ่น MA 1 ให้มีค่าที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 ในตัวอย่างที่ให้ไว้เพียงแค่ 1 0 5 จะเป็นค่าพารามิเตอร์ที่อนุญาตได้ในขณะที่ 1 1 0 5 2 จะไม่ ความสามารถในการพลิกกลับของ MA models. An แบบจำลอง MA กล่าวได้ว่าเป็น invertible ถ้าเป็นพีชคณิตเทียบเท่ากับรูปแบบ AR อนันต์แบบ converging โดย converging เราหมายถึงค่าสัมประสิทธิ์ของ AR ลดลงเป็น 0 เมื่อเราเคลื่อนที่กลับไปในช่วงเวลา Invertibility คือข้อ จำกัด ที่ตั้งโปรแกรมไว้ time series ใช้คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ icients ของแบบจำลองที่มีเงื่อนไขของ MA มันไม่ใช่สิ่งที่เราตรวจสอบในการวิเคราะห์ข้อมูลข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อ จำกัด ของ invertibility สำหรับ MA 1 models มีอยู่ในภาคผนวกทฤษฎี The Enhanced หมายเหตุสำหรับ MA q model ที่มี ACF ที่ระบุมีเพียง หนึ่งรูปแบบ invertible เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ invertibility คือสัมประสิทธิ์มีค่าเช่นว่าสมการ 1- 1 y - - qyq 0 มีโซลูชั่นสำหรับ y ที่ตกนอกวงกลมหน่วยรหัส R สำหรับตัวอย่างในตัวอย่างที่ 1 เราวางแผน ทฤษฎี ACF ของแบบจำลอง xt 10 wt 7w t-1 และจำลองค่า n 150 จากแบบจำลองนี้และวางแผนตัวอย่างชุดเวลาและตัวอย่าง ACF สำหรับข้อมูลจำลองคำสั่ง R ที่ใช้ในการวางแผน ACF ทางทฤษฎีคือ ACMAacf ma c 0 7, 10 lags ของ ACF สำหรับ MA 1 กับ theta1 0 7 lags 0 10 สร้างชื่อตัวแปรล่าช้าที่มีตั้งแต่ 0 ถึง 10 ล็อตล็อต acfma1, xlim c 1,10, ylab r, h, ACF หลักสำหรับ MA 1 กับ theta1 0 7 abline h 0 เพิ่มแกนนอนลงในพล็อต e คำสั่งแรกกำหนด ACF และเก็บไว้ในวัตถุชื่อ acfma1 ทางเลือกของเรา name. The พล็อตคำสั่งคำสั่งแปลงที่สาม lags กับค่า ACF สำหรับ lags 1 ถึง 10 พารามิเตอร์ ylab ป้ายแกน y และพารามิเตอร์หลักทำให้ ชื่อในพล็อตหากต้องการดูค่าตัวเลขของ ACF เพียงแค่ใช้คำสั่ง acfma1 การจำลองและแปลงทำด้วยคำสั่งต่อไปนี้ รายการ ma c 0 7 เลียนแบบ n 150 ค่าจาก MA 1 x xc 10 เพิ่ม 10 เพื่อให้มีค่าเฉลี่ย 10 ค่าเริ่มต้นของการจำลองแบบหมายถึง 0 พล็อต x, ชนิดข, ข้อมูลหลักที่จำลอง MA 1 acf x, xlim c 1,10, ACF หลักสำหรับการจำลอง ข้อมูลตัวอย่างในตัวอย่างที่ 2 เราได้วางแผนทฤษฎี ACF แบบจำลองของแบบจำลอง xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 และจำลองค่า n 150 จากแบบจำลองนี้และวางแผนตัวอย่างชุดเวลาและตัวอย่าง ACF สำหรับการจำลอง ข้อมูลคำสั่ง R ที่ใช้คือ. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 ล่าช้า 0 10 พล็อตล็อต, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, ประเภท h, ACF หลักสำหรับ MA 2 กับ theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 รายการ ma c 0 5, 0 3 x xc 10 พล็อต x, ประเภทข, หลักจำลองแมสซาชูเซตส์ 2 ซีรี่ย์ acf x, xlim c 1,10, ACF หลักสำหรับการจำลอง MA 2 ข้อมูลภาคผนวกหลักฐานแสดงคุณสมบัติของ MA 1 สำหรับนักเรียนที่สนใจนี่เป็นหลักฐานสำหรับคุณสมบัติทางทฤษฎีของแมสซาชูเซตส์ 1 model. Variance text xt ข้อความ mu wt theta1 น้ำหนัก w w ข้อความ 0 wt ข้อความ theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2w เมื่อ h 1 การแสดงออกก่อนหน้านี้ 1 w 2 สำหรับชั่วโมง 2 , นิพจน์ก่อนหน้า 0 เหตุผลก็คือตามนิยามของความเป็นอิสระของ wt E wkwj 0 สำหรับ kj ใด ๆ เพิ่มเติมเนื่องจาก wt มีค่าเฉลี่ย 0, E wjwj E wj 2 w 2. สำหรับชุดข้อมูลเวลาให้ใช้ผลลัพธ์นี้เพื่อให้ได้ ACF ให้ข้างต้นแบบจำลอง invertible MA เป็นหนึ่งที่สามารถเขียนเป็นรูปแบบ AR อนันต์ที่ converges เพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ AR บรรจบกันเป็น 0 เมื่อเราย้ายกลับอนันต์ในเวลาเราจะแสดง invertibility สำหรับ MA 1 model. We แล้ว ความสัมพันธ์ทดแทน 2 สำหรับ w t-1 ในสมการ 1 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At เวลา t-2 สมการ 2 กลายเป็นแล้วเราแทนความสัมพันธ์ 4 สำหรับ w t-2 ในสมการ 3. zt wt theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31w. ถ้าเราดำเนินการต่ออนันต์เราจะได้รูปแบบ AR อนันต์ zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z dots. Note อย่างไรก็ตามถ้า 1 1 ค่าสัมประสิทธิ์การคูณความล่าช้าของ z จะเพิ่มขึ้นอย่างไม่ จำกัด ในขณะที่เราเคลื่อนที่กลับในเวลาเพื่อป้องกันปัญหานี้เราจำเป็นต้องใช้ 1 1 นี่คือ เงื่อนไขสำหรับแบบ invertible MA 1 model. Inlineite order MA model. ในสัปดาห์ที่ 3 เราจะเห็นว่า AR 1 สามารถแปลงเป็นรูปแบบ MA ที่ไม่มีที่สิ้นสุด xt-mu wt phi phi1w phi 21w dots phi k1 w จุด sum phi j1w ข้อสรุปของคำพูดเสียงสีขาวที่ผ่านมาเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นตัวแทนที่เป็นสาเหตุของ AR 1 ในคำอื่น ๆ xt เป็นประเภทพิเศษของ MA ที่มีจำนวนอนันต์ของข้อกำหนด จะกลับมาในเวลานี้เรียกว่าอนันต์สั่ง MA หรือ MA คำสั่ง จำกัด MA เป็นคำสั่งอนันต์ AR และคำสั่งใด ๆ ที่ จำกัด AR เป็นคำสั่งอนันต์ MA. Recall ในสัปดาห์ที่ 1 เราสังเกตเห็นว่าข้อกำหนดสำหรับ AR 1 คงเป็นที่ 1 1 ลองคำนวณค่า Var xt โดยใช้การแทนเชิงสาเหตุขั้นตอนสุดท้ายนี้ใช้ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับชุดข้อมูลทางเรขาคณิตที่ต้องใช้ phi1 1 มิฉะนั้น diverges แบบอื่น ๆ การสืบค้นข้อมูลฉันมีความสัมพันธ์กับการคำนวณความแปรปรวนของกระบวนการ AR 1 ที่เรียบด้วย ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ง่ายดังนั้นในกระบวนการ AR 1 ของรูปแบบความแปรปรวนสามารถคำนวณได้จากที่ sigma คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ varepsilon เป็นสัญญาณรบกวนสีขาวและ varphi เป็นตัวแปรที่กำหนดคุณสมบัติ autocorrelation ของ AR 1 process. I จะ ชอบที่จะสามารถคำนวณได้ ความแปรปรวนของกระบวนการ AR 1 หลังจากการทำให้เรียบโดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่ไม่มีการชั่งน้ำหนักสำหรับขนาดหน้าต่างต่างๆฉันจึงมองไปที่ปัญหาด้วยข้อมูล analytically และเป็นขนาดหน้าต่างของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่เพิ่มความแปรปรวนชัดตกและวิธีการใน อย่างชัดเจนเมื่อหน้าต่างเฉลี่ยเคลื่อนที่เท่ากับ N ขนาดของชุดข้อมูลที่วิเคราะห์แล้วความแปรปรวนเท่ากับ 0. ดังนั้นจึงมีวิธีการในการหาค่าความแปรปรวนที่คาดว่าจะได้ของ AR 1 ในแง่ของ varphi, N และขนาดของ window. Any คำแนะนำเฉลี่ยที่มีค่าเฉลี่ย. Aug 31 13 ที่ 7 12.Thanks ฉันเดาฉันอาจจะหายไปบางสิ่งบางอย่าง แต่สมการรหัสสำหรับ MAvar doesn t ดูเหมือนจะตรงกับที่ได้มา สมการ var ด้านบนคุณสามารถให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการสมการสุดท้ายมาถึงยังระบุว่าเมื่อหน้าต่างเฉลี่ยเคลื่อนไหวเท่ากับ N var ต้องเป็นศูนย์สมการไม่จำเป็นต้องมีการแสดงออกในแง่ของ N user29771 ฉันเพียงเปลี่ยนลำดับของคำบางคำใน MAvar เทียบกับสมการสุดท้ายดังนั้นพวกเขาควรจะเหมือนกันฉันได้เพิ่มอีกสองบรรทัดที่ derivation ส่วนที่เหลือเป็นคู่ของผลรวมทางเรขาคณิตและ simplifications ตอนนี้เกี่ยวกับ N สิ่งที่เรากำลังมองหาที่ความแปรปรวนทางทฤษฎีไม่เชิงประจักษ์และตั้งแต่ในทฤษฎีกระบวนการ AR เรียบนี้ไม่สิ้นสุดความแปรปรวนทางทฤษฎีไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์เช่นเดียวกับมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ N Julius Sep 1 13 at 10 23. วิธีอื่นที่จะทำคือการคำนวณโดยตรงโดยใช้คุณสมบัติของ auto-covariances ซึ่งเป็น gamma k rho gamma 0 โดยที่ gamma 0 sigma 1 - rho เป็นค่าความแปรปรวนดังนั้นค่าเฉลี่ยของ K ระยะเวลาจะได้รับโดยเริ่มต้น tilde x frac1K sum limits x end ค่าเฉลี่ยเฉลี่ยคือ mathbb E tilde x frac1K sum limits mathbb E x mu และ denoting hat xx - mu เพื่อทำให้สัญกรณ์ง่ายขึ้นความแปรปรวนจะได้รับโดยเริ่มต้น V tilde x mathbb E left left frac1K วงเงินรวม x - tfrac mu right right frac1 mathbb E left left su m ขีด จำกัด x - mu right right frac1 mathbb E left left วงเงินรวม x หมวกด้านขวาขวาเมทริกซ์สแควร์ของ N ครั้ง N องค์ประกอบที่มีองค์ประกอบ ij เป็นหมวก x หมวก x สามารถเขียนได้ในแง่ของเส้นทแยงมุมและสองเท่าบนสามเหลี่ยมเมทริกซ์ เป็นครึ่งล่างบนและล่างจะสมมาตรเริ่มต้น V tilde x frac1 mathbb E วงเงินที่ยังเหลือขีด จำกัด ของหมวก x วงเงินรวมวงเงินรวม 2 หมวก x หมวก x ขวา frac1 mathbb E วงเงินรวมที่เหลือ gamma 0 2 วงเงินรวมข้อ จำกัด การรวม gamma ji ด้านขวาซึ่งมี การเรียงลำดับใหม่ของยอดรวมในระยะสุดท้ายจากวงเงินรวมวงเงิน gamma ji ถึงขีด จำกัด รวมข้อ จำกัด gamma j และเรียกคืนว่า gamma k rho gamma 0 แล้วเริ่มต้นวงเงินรวมขีด จำกัด sum gamma j gamma 0 sum วงเงินข้อ จำกัด sum rho end ตอนนี้ วงเงินรวมรวมทางเรขาคณิต rho rho rho ldots rho สามารถใช้งานง่ายในการสรุปข้อ จำกัด rho tfrac ซึ่งจะทำให้คุณเริ่มต้นข้อ จำกัด รวมข้อ จำกัด gamma j frac sum limits 1 - rho end และผลรวมขั้นสุดท้ายสามารถทำได้ง่ายขึ้นดังนี้เริ่มต้น sum limits 1- rho 1 - rho 1 - rho ldots 1 - rho K-1 - rho ldots rho K-1 - left frac right end การรวมกันกลับกันเราจะเริ่มต้น V tilde x frac1 mathbb E จำนวนเงินที่เหลือรวม gamma 0 2 วงเงินรวม จำกัด sum gamma j right frac1 left K gamma 0 2 frac left K-1 - ซ้ายขวา frac ขวาหรือหลังบางพีชคณิต footnote frac ซ้าย K 2 frac ซ้าย K-1 - ซ้าย frac ขวาขวา frac 1 - rho ซ้าย K 1- rho 2 rho K-1 - ซ้าย frac 1 - rho ขวาขวา frac 1 - rho ซ้าย K 1 rho - 2 rho - left frac 1 - rho ขวาขวา frac 1 - rho ซ้าย K 1 rho 1- rho - 2 rho 1 - rho - 2 rho 1- rho right frac 1 - rho 1- rho ซ้าย K 1 - rho - 2 rho 1- rho ขวาเริ่มต้น V tilde x frac 1 - rho 1- rho ซ้าย K 1 - rho - 2 rho 1- rho ขวาสุดใช้วิธี Julius s ข้างต้นฉันได้รับตรงคำตอบเช่นนี้ ดีหวังว่ามัน helps. answer 9 กันยายน 13 ที่ 17 09